这个计算器能做什么
本工具用来求解经典的"钟表追及问题"：在标准的 12 小时模拟时钟上，给定一个一小时的时段（例如"1 点到 2 点之间"），它会算出长分针追上并与短时针重合的精确时刻。这套数学原理放之四海皆准，与任何实际的计时规则无关。
时针和分针在每个整点刻度稍后重合。
使用方法
从下拉菜单中选择你想要的整点时段。计算器会以三种形式给出重合时刻：分钟数的精确分数（\(60H/11\)）、对应的十进制数值，以及干净直观的 H:MM:SS 时间格式，同时还会显示整点时刻两针之间的初始夹角。
公式详解
分针在 60 分钟内转完 360 度，因此每分钟走 6 度；时针在 720 分钟内转完 360 度，因此每分钟走 0.5 度。这样一来，分针相对时针每分钟多走 \(6 - 0.5 = 5.5\) 度。在整点 H 点时，时针比分针领先 \(H \times 30\) 度。要追平这段差距，需要在整点之后经过
$$t = \frac{30 \times \text{Hour}}{5.5} = \frac{60 \times \text{Hour}}{11}\ \text{minutes after the hour}$$
分钟。
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两根指针都从 12 点出发；分针以每分钟 5.5 度的速度追上,填补 30H 度的差距。
实例演算
以"3 点到 4 点之间"（\(H = 3\)）为例：3:00 时两针夹角为 \(3 \times 30 = 90\) 度。重合发生在 3:00 之后
$$\frac{90}{5.5} = \frac{180}{11} = 16.3636\ldots\ \text{分钟}$$
也就是 3:16 再加上 \(\frac{4}{11} \times 60 = 21.8\) 秒，即大约 3:16:21.8。
12小时内全部11次手重叠时刻
分钟手以恒定速率追上时针，因此在任何12小时周期内两根手重合恰好11次——每个时间段各一次，除了11–12时间段内部没有重叠。每次重叠发生在\(\frac{60H}{11}\)分钟处，其中\(H\)是窗口开始时的小时数（12–1时间段用\(H = 0\)）。
时间段
H
精确分数（分钟）
十进制分钟
时钟时间（时:分:秒）
12–1
0
0
0
12:00:00
1–2
1
60/11
5.4545
1:05:27.3
2–3
2
120/11
10.9091
2:10:54.5
3–4
3
180/11
16.3636
3:16:21.8
4–5
4
240/11
21.8182
4:21:49.1
5–6
5
300/11
27.2727
5:27:16.4
6–7
6
360/11
32.7273
6:32:43.6
7–8
7
420/11
38.1818
7:38:10.9
8–9
8
480/11
43.6364
8:43:38.2
9–10
9
540/11
49.0909
9:49:05.5
10–11
10
600/11
54.5455
10:54:32.7
关于缺失的第十二行的注记：将\(H = 11\)代入公式得\(\frac{660}{11} = 60\)分钟（即11点后60分钟——正好是12:00:00）。因此11–12时间段内部不包含重叠；其"重叠"是已列出的同一事件（\(H = 0\)）。这就是为什么每12小时有11次重合而不是12次，为什么连续重叠的间隔是\(\frac{720}{11} \approx 65.4545\)分钟而非整数60分钟。
如何手工计算手重叠时间
这是一个简单的相对速度追逐问题，在360°刻度盘上进行。以\(H = 7\)（7–8时间段）作为贯穿示例。
确定\(H\)，即窗口开始时的小时数。对于7点到8点之间的重叠，\(H = 7\)。对于12–1时间段，使用\(H = 0\)。
计算初始角度间隔。在正好H点整时，分钟手指向12，时针比它领先\(H\)个小时刻度。每个小时刻度为30°，所以间隔为\(30H\)度：\(30 \times 7 = 210^\circ\)。
使用相对速度（追赶速度）。分钟手每分钟转6°，时针每分钟转0.5°，所以分钟手缩小间隔的速率为\(6 - 0.5 = 5.5\)度每分钟。
用间隔除以追赶速度。$$t = \frac{30H}{5.5} = \frac{60H}{11}\ \text{小时后的分钟数}$$ 对于\(H = 7\)：\(t = \frac{210}{5.5} = \frac{420}{11} = \)38.1818分钟。
取整分钟数。\(\lfloor 60H/11 \rfloor\)。此处\(\lfloor 38.1818 \rfloor = 38\)整分钟，剩余\(\frac{420}{11} - 38 = \frac{420 - 418}{11} = \frac{2}{11}\)分钟。
将剩余分数转换为秒。乘以60：\(\frac{2}{11} \times 60 = \frac{120}{11} = 10.909\)秒。（对于\(H = 3\)的同样步骤给出\(\frac{4}{11}\)分钟的剩余，\(\frac{4}{11} \times 60 = 21.818\)秒。）
组合时:分:秒格式。合并小时、整分钟和秒数：\(7\text{:}38\text{:}10.9\)。因此12小时制模拟时钟的手在7:38:10.9重合，而不是常见的猜测7:35。
一个有用的检查方法：每个答案都是\(\frac{60}{11} \approx 5.4545\)分钟的倍数，秒数总是落在\(\frac{60}{11}\)秒的倍数上，因此唯一精确的时钟时间就是上表中列出的这11个。
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关键术语和变量
术语/符号
数值或单位
含义
\(H\)——小时窗口指数
整数0–10（无量纲）
被搜索窗口开始时的小时读数。\(H = 0\)表示12–1时间段，\(H = 7\)表示7–8时间段。重叠时间以H点整后的分钟数测量。
分钟手角速度
6 °/分钟
分钟手在60分钟内扫过360°：\(360/60 = 6\)度每分钟。
时针角速度
0.5 °/分钟
时针在12小时（720分钟）内扫过360°：\(360/720 = 0.5\)度每分钟——分钟手速率的十二分之一。
相对速度（追赶速度）
5.5 °/分钟
分钟手追上时针的速率：\(6 - 0.5 = 5.5\)。这个单一常数驱动模拟刻度盘上的每个手位置问题。
初始角度间隔
\(30H\)度
时针在正好H点整时的领先量。12个小时刻度中的每一个跨度为\(360/12 = 30^\circ\)，所以间隔在1点时为30°，在7点时为210°，以此类推。
重合（重叠）
目标角度0°
两根手指向完全相同方向的瞬间——间隔已减小到零。在12小时内发生11次，即每天22次。
相对
目标角度180°
手指向完全相反的方向，通过中心形成一条直线。同一方法，目标不同：\(t = \frac{30H \pm 180}{5.5}\)分钟，选择落在小时内的根。也是每12小时11次。
直角位置
目标角度90°或270°
两根手垂直。用\(t = \frac{30H \pm 90}{5.5}\)以同样方式求解；这在12小时内发生22次（每天44次），因为大多数小时内包含其中两个。
在每种情况下方法都相同——取小时开始时的间隔，加上或减去目标角度，再除以5.5°/分钟的追赶率。仅目标角度会改变。注意这种几何假设理想化的模拟刻度盘，手连续移动；带跳跃式分钟手的时钟会将重叠卡到最近的跳跃位置，数字显示则根本没有手。
常见问题
在 12 小时内，两针会重合多少次？ 恰好 11 次，每隔 \(12/11\) 小时（约 65.45 分钟）重合一次，并不是很多人想当然认为的 12 次。
为什么 60H/11 是循环小数？ 因为分母 11 无法整除 \(60H\)，所以小数部分会以 11 为周期循环出现。使用精确分数可以避免四舍五入带来的误差。
那 11 点到 12 点、12 点到 1 点这两个时段呢？ 这两种情况下重合点恰好落在 12:00（最平凡的特例），因此这两个时段通常会被略去。